Είναι κατανοητό πως για να μην μπερδεύονται οι μικροί μαθητές και οι μαθήτριες, τα κλάσματα και οι δεκαδικοί αριθμοί διδάσκονται ως χωριστά κεφάλαια. Στη συνέχεια όμως είναι ακατανόητο να μην έρχονται κοντά οι δύο αυτές ενότητες. Να μη μένει δηλαδή στους μαθητές μόνιμα η αίσθηση πως κλάσματα και δεκαδικοί είναι δύο δωμάτια στο ίδιο σπίτι που μπορείς άνετα να βγαίνεις από το ένα και να μπαίνεις στο άλλο. Στα παρακάτω λοιπόν θα γίνει μια προσπάθεια να αισθανθεί ο αναγνώστης… σαν στο σπίτι (του), αυτό που περιγράψαμε ήδη.
Από το προηγούμενο φύλλο κρατούμε το ότι μετατρέποντας ένα κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό παρουσιαζόταν γρήγορα ή αργά μια περιοδικότητα. Είχαμε δώσει και παραδείγματα: (1/24) = 0,041666…, δηλαδή μετά τα τρία πρώτα δεκαδικά ψηφία έχουμε μια περιοδικότητα ενός ψηφίου, του 6. Στο (1/7) = 0, 142857 142857… έχουμε μια περιοδικότητα έξι ψηφίων. Για κλάσματα όπως το (3/4)= 0,7500… προκύπτει περιοδικότητα ως προς το 0.
«Μηχανική» διαίρεση
Ας θυμηθούμε τώρα το πώς μας έμαθαν να μετατρέπουμε (εντελώς μηχανικά) ένα κλάσμα σε δεκαδικό. Παίρνουμε το (5/6) = 0,83333… και λέμε: «Το 6 στο 5 δεν χωράει, το 6 στο 50 όμως πάει 8 φορές και αφήνει 2 υπόλοιπο». Η άρρητη σύμβαση που έχουν κάνει άλλοι για λογαριασμό μας και εμείς γινόμαστε απλοί εκτελεστές είναι πως για τη διαίρεση 5/6 έχει γίνει πρώτα ο πολλαπλασιασμός του 5 επί 10 και δίπλα παραμονεύει ο πολλαπλασιασμός με το (1/10)! Δηλαδή αντί για το 5 στον αριθμητή βλέπουμε να εμφανίζεται το ζευγάρι 50 Χ (1/10) που προφανώς δεν αλλάζει το αρχικό αποτέλεσμα αφού (10 Χ 1/10) = 1. Αρα το πηλίκον της διαίρεσης (50/6), δηλαδή το 8, υποχρεωτικά στη συνέχεια πολλαπλασιάζεται με το (1/10) και έτσι προκύπτει το 0,8 ως το πρώτο δεκαδικό ψηφίο της μετατροπής. Στη συνέχεια και επειδή (50/6) Χ (1/10) =[ (6 Χ 8 +2)/6] Χ (1/10) είναι φανερό πως όταν γίνουν οι πράξεις και ξεκαθαρίσουν παρενθέσεις και αγκύλες θα μένει εκτός από το 0,8 και ένας ακόμη όρος: (2/6) Χ (1/10). Θα γίνει και αυτός δεκαδικός με τον ίδιο τρόπο. Πολλαπλασιασμός επί 10 και διαίρεση με το 10. Αρα τώρα αντί για 2 έχουμε το 20 να διαιρεθεί με το 6 που δίνει πηλίκον 3 και υπόλοιπο πάλι 2. Αλλά τώρα ο πολλαπλασιασμός (1/10) Χ (1/10) = (1/100) μας μεταφέρει στα εκατοστά, αφού προκύπτει το 0,03, οπότε έχουμε (5/6) = 0,83… και από εκεί και πέρα όσο θα προχωρούμε θα εμφανίζεται πλέον η περιοδικότητα με αλλεπάλληλα τριάρια.
Ατέρμονη περιοδικότητα
Παρακολουθώντας έτσι αναλυτικά αυτή τη διαδικασία γίνεται φανερό πως γενικά σε ένα κλάσμα (μ/ν), θετικό και μικρότερο της μονάδας, αν δεν προκύπτει τελικά μια διαίρεση με μηδέν υπόλοιπο τότε το υπόλοιπο αναγκαστικά θα είναι ένας αριθμός ακέραιος που θα κυμαίνεται από το 1 έως το (ν-1). Οταν λοιπόν κάποια στιγμή εμφανιστεί ξανά το ίδιο υπόλοιπο, τότε η διαδικασία γίνεται κάτι σαν ένας ατέρμων βρόχος πλέον όπου θα επαναλαμβάνεται το ίδιο μπλοκ ξανά και ξανά. Και το μέγεθός του θα είναι από 1 έως το πολύ (ν-1). Για παράδειγμα, το (1/13) = 0,076923 076923 0… έχει ένα μπλοκ με έξι μόλις στοιχεία και όχι με δώδεκα.
Πνευματική γυμναστική
1 Πρώτα μια διευκρίνιση για το κουίζ όπου (κατα)ζητούνταν ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορούμε να φτιάξουμε συνδυάζοντας τρεις ακέραιους μονοψήφιους αριθμούς. Μια παρένθεση που βρέθηκε κατά λάθος 1 θέση πιο δεξιά από ό,τι έπρεπε, έδωσε και λάθος εντυπώσεις στη διατύπωση της λύσης. Ας το δούμε ξανά: Επιλέγουμε λοιπόν τρία εννιάρια και θα υψώσουμε το πρώτο 9 στην 99 δύναμη. Και επειδή 99 = 387.420.488 το πρώτο εννιάρι θα υψωθεί τελικά σε αυτή τη δύναμη: 9387.420.488. Και προκύπτει ένας αριθμός με 369.693.098 ψηφία! Αρκούντως μεγαλύτερος από όσα πρότειναν κάποιοι αναγνώστες. Με την ευκαιρία όμως αυτή θα ζητήσουμε να βρεθεί το πώς φθάνουμε στο να γνωρίζουμε τον αριθμό των ψηφίων που θα έχει ο (τερατώδης αυτός) αριθμός. Ακόμα και αν δεν υπολογίσουμε ακριβώς ποιος είναι.
2 Επειδή η προτροπή για να εξηγηθεί, χωρίς να καταφύγουμε σε σύστημα εξισώσεων, το πρόβλημα με τα βάρη που είχαν φορτωθεί από το αφεντικό τους ένας όνος και ένας ημίονος είχε πρωτοφανή απήχηση στους πιστούς της σελίδας, δίνουμε άλλο ένα αντίστοιχο, με την ίδια προτροπή για την εξήγηση της λύσης και των απαραίτητων εννοιών σε παιδιά χωρίς γνώσεις άλγεβρας: Αν 4 βάτραχοι γενούν 4 αβγά σε 4 ημέρες, 3 πάπιες 3 αβγά σε 3 ημέρες και 2 κότες γεννούν 2 αβγά δύο φορές σε 2 ημέρες, πόσα αβγά γεννούν 1 βάτραχος, 1 πάπια και 1 κότα συνολικά στο διάστημα από 1η Φεβρουαρίου έως 31 Μαρτίου σε ένα δίσεκτο έτος;
Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ
- Εδώ είχαμε τον Α και τον Β να ιδρύουν εταιρεία όπου ο Α επένδυσε το διπλάσιο ποσόν από τον Β και δύο χρόνια αργότερα ο Γ δίνοντας 60.000 ευρώ γίνεται ισότιμο μέλος. Η ερώτηση ήταν πόσες από αυτές τις 60.000 ευρώ θα πρέπει να πάρει ο Α και πόσες ο Β. Σίγουρα πάντως όχι 40.000 ο ένας και 20.000 ο άλλος. Διότι για να είναι πλέον και ο Γ ισότιμο μέλος με τις 60.000 σημαίνει πως τώρα όλη η εταιρεία είναι στα 3 Χ 60.000 = 180.000 ευρώ. Αρα όταν ξεκίνησαν ο Α είχε βάλει 120.000 και ο Β 60.000. Οπότε ο Α δικαιούται να πάρει και τις 60.000 του νέου επενδυτή.
- Ο λόγος εδώ ήταν για τους λεγόμενους V-numbers. Με τα ψηφία τους συμβαίνει το εξής: Αν πάρουμε έναν τριψήφιο αριθμό, το μεσαίο ψηφίο, δηλαδή αυτό των δεκάδων, είναι μικρότερο από τα ψηφία των εκατοντάδων και των μονάδων. Τέτοιοι αριθμοί είναι για παράδειγμα οι: 612, 324, 928. Ζητούσαμε να βρεθεί το πόσοι τριψήφιοι V-numbers υπάρχουν. Λοιπόν ο μικρότερος από όλους θα είναι ο 101. Από εκεί αρχίζουμε να ανεβαίνουμε έως το 9 στις μονάδες και για καθεμία μεταβολή θα υπάρχουν άλλοι 9 για τις εκατοντάδες. Αρα μόνο για το 0 στις δεκάδες θα υπάρχουν 9 Χ 9 V-numbers. Για τον 1 στις δεκάδες θα υπάρχουν 8 Χ 8 και φθάνοντας στον 8 μόνο ένας, ο 989. Οπότε όλοι μαζί θα είναι το άθροισμα: (9Χ9) + (8Χ8) + (7Χ7) + … + (1Χ1) = 285.
Έντυπη έκδοση Το Βήμα
